[물리공부] 회전운동의 법칙 개념,문제

회전운동의 법칙에서는 회전운동의 양을 나타내는 ‘각운동량’을 정의한다. 이 양은 회전을 멈추기 어려운 정도를 나타내며, 외부에서 토크가 가해지지 않는 한 계의 총 각운동량은 변하지 않는다는 ‘각운동량 보존법칙’을 공부한다. 또한, 회전운동을 포함한 에너지 보존법칙을 이용하여 회전상태를 분석해 본다. 강체가 이동도 안하고 회전도 안하는 정적 평형상태에 있을 조건도 공부한다.

 

토크와 각운동량의 관계

◎ 토크벡터와 각운동량의 정의

물체의 회전운동에서 토크를 정의하였었다. 이 때, 회전축은 고정되어 있어서 이 축에 대해 반시계방향 회전인가 시계방향 회전인가만 구별하면 되었다. 만일 회전축도 움직일 수 있다면 토크를 어떻게 정의해야 할까? 회전축의 방향이 다른 여러 물체들이 있다면 이 물체들이 받는 토크를 어떻게 정의해야 할까? 설령 토크의 크기는 같더라도 회전축이 다르면 다른 토크여야 한다. 결국, 토크의 정의에 회전축의 방향에 대한 정보가 들어가 있어야 한다. 다음과 같이 어떤 지점에 힘을 주었다고 하자.

 

                  

 

그러면, 위치벡터와 힘벡터가 이루는 평면이 하나 생기고 이 평면에 수직으로 올라가는 방향을 축으로 회전하려 할 것이다. xy평면이 회전하는 쪽으로 오른 손가락 네 개를 감아주면 엄지 손가락이 가리키는 방향이 회전축의 방향이 된다. 이 방향을 토크의 방향으로 정의한다. 엄지를 축으로 나머지 손가락이 돌아가는 쪽의 회전을 일으키는 토크란 뜻이다.

 

 

여기서, 벡터곱은 스칼라곱과 다른 연산이며 다음과 같이 정의된 연산이다.

 

 

벡터곱은 교환법칙이 성립하지 않으므로, 계산이 복잡해진다. 벡터를 성분으로 표현하면 단위벡터들 사이에 다음과 같은 관계를 이용하면 벡터곱을 계산할 수 있다.

 

 

벡터곱 계산의 예를 들면 다음과 같다.

 

 

입자의 각운동량의 정의하려고 한다. 선운동량이 선형운동의 운동량인 것처럼, 각운동량이 회전의 운동량을 나타내도록 정의 하는데, 정의 자체로는 왜 그렇게 정의하는지 언뜻 이해하기 어렵다.

각운동량은 회전을 멈추기 어려운 정도를 나타내는데, 이 의미는 토크와의 관계를 통해 나중에 다시 살펴보자. 입자 하나의 각운동량은 다음과 같이 정의되며, 벡터량이다.

 

 

 

예를 들어, 원운동하는 입자의 각운동량의 크기는 다음과 같이 계산된다.

 

 

다음 장에서 보겠지만, 각운동량은 토크와 아주 밀접한 관계가 있고, 또한, ‘각운동량 보존법칙’이 있기 때문에 회전과 관련하여 대단히 중요한 양이다.

고정된 축으로 돌고 있는 강체의 각운동량의 축 성분은 다음과 같다.(각운동량은 벡터량이고, 축이 고정되어 있다고 해서 각운동량의 방향이 축 방향과 항상 같은 것은 아니다. 강체의 모양이 축에 대해 대칭적일 때만 두 방향이 같다. 축 방향이 고정된 경우에는 회전운동을 분석할 때, 이 축에 대한 성분만 알면 충분하다.)강체가 회전하고 있는 고정된 축을 z축이라하면 강체의 각운동량의 z성분은 다음과같이 간단히 나타낼 수 있다.

 

 

◎ 토크와 각운동량의 관계

입자 하나에 작용하는 토크와 각운동량은 다음의 관계가 있다.

 

 

토크와 각운동량의 시간 변화율은 서로 같다. 앞 에서, 각운동량은 회전을 멈추기 어려운 정도를 나타낸다고 했었는데, 다시 한 번 살펴보자. 위 식에서 토크에 시간으로 적분하면 각운동량의 변화량과 같
다.(‘힘을 시간으로 적분한 충격량은 선운동량의 변화량과 같다.’는 물체의 회전운동의 내용과 비슷한 이야기이다.) 따라서, 각운동량이 크면 회전을 멈출 때까지 토크를 오래 작용하거나 아니면 큰 토크를 짧게 가하거나 해야 하므로, 각운동량은 회전을 멈추기 어려운 정도를 나타낸다고 할 수 있다.

여러 입자들로 이루어진 입자계에 대한 토크와 전체 각운동량은 다음의 관계가 있다.

 

 

이 식에 등장하는 토크는 계의 외부에서 작용하는 토크들의 총 합이다. 내부 입자들끼리 작용하는 토크는 합하여 0 이 되므로 위 식에 나타나지 않는다. 이 외부 토크에 의해 계 전체 각운동량의 변화가 생긴다는 내용이다.

회전축이 고정된 강체의 경우 각운동량과 토크와의 관계는 회전축 성분만 고려하면 되므로 다음과 같다.

 

 

이 식의 제일 우변은 바로 물체의 회전운동에서 공부했던 내용과 같다. 토크를 받으면 각가속도가 생기며, 이 관계를 각운동량을 이용하여 다시 표현할 수 있다.

지금까지 계가 외부에서 토크를 받은 만큼 각운동량의 시간 변화율이 생김을 세 가지 경우로 나누어 살펴보았다.

 

◎ 각운동량 보존법칙

만일 어떤 계에 작용하는 외부 토크가 없다면 어떻게 될까? 계에 작용하는 외부토크가 없다면 각운동량의 시간 변화율도 없게 된다. 따라서, 이 경우에 각운동량은 변하지 않으며, 이것을 각운동량 보존법칙이라고 한다.

 

 

피겨 스케이팅 선수의 회전이 갑자기 빨라지는 경우가 있는데, 아래 그 예가 있으며 각운동량 보존법칙으로 설명할 수 있다.

 

 

 

 

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회전운동에 대한 에너지 분석

 

◎ 회전운동에너지

 

 

◎ 구르는 물체의 에너지

 

 

예를 들어 경사면에서 미끄러지지 않고 굴러 내려가는 경우의 운동을 에너지를 이용하여 분석해 보자.

 

 

여기서, 두 번째 식으로 넘어갈 때, ω=vf/R 을 이용하였는데, 이것은 미끄러지지않고 굴러갈 때 쓸 수 있는 관계식이다. 이와 같이, 회전이 포함된운동도 에너지 보존법칙을 이용하여 다룰 수 있음을 보았다.

 

 

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강체의 정적 평형 조건

 

◎ 평형조건

 

설치된 구조물이 쓰러지거나 움직이지 않고 안정되게 있을 조건은 다음 두 가지 이다.

 

 

첫 번째 조건만 만족하면 되지 않을까라고 생각할 지도 모르지만, 두 번째 조건도 반드시 필요하다. 왜냐하면 첫 번째 조건만 만족한다면 물체가 회전할 수도 있기 때문이다. 아래 예가 있다.

 

 

 

예를 하나 들어 분석해 보자.

 

 

이 문제에서 병진평형조건은 자동적으로 성립한다. 축이 무게만큼 위로 밀고 있기 때문이다. 따라서, 이 문제는 회전평형조건만 이용하여 풀 수 있다. 토크의 합이 0이어야 함을 이용하면 위와 같이 쉽게 아빠의 위치를 찾을 수 있다.

 

 

퀴즈 7.pdf