[물리공부] 물체의 회전운동 개념,문제

물체의 회전운동에서는 회전운동을 나타내는 용어인 각도, 각속도, 각가속도를 정의하고,등각가속도로 운동하는 경우를 예로 회전이 어떻게 바뀌고 있는지 계산해 본다.

회전 운동을 계속 유지하려는 물체의 성질인 관성모멘트가 어떻게 정의되는지 살펴본다. 또한, 회전을 변화시키는 돌림힘인 토크도 정의하고, 토크가 가해질 때 물체가 어떻게 회전하는지 공부한다.

 

 

 

회전 상태를 나타내는 용어의 정의

◎ 각도

회전하는 물체에 대해, 회전의 위치를 나타내는 것이 각도(angle)이다.

각도는 도(degree)로 나타내는 방법과 라디안(radian)으로 나타내는 방법이 있다.

한 바퀴도는 각도는 360도이며 2π라디인이다. 반바퀴는 180도이며 π라디안이다. 이 중에서 라디안 각도가 과학에서 많이 쓰이며, 특히 양이나 법칙에 등장하는 각도는 거의 라디안 각도이다.

라디안 각도는 다음과 같이 정의한다.

 

 

즉, 물체에 고정된 어떤 점이 회전하며 휩쓸고 지나간 호의 길이를 반지름으로 나눈 것으로 정의한다. 그러면 회전한 정도를 나타낼 수 있다. 어떤 물체가 회전했다고 하자. 이 때, 물체 위의 임의의 점을 살펴보면 ‘호의길이/반지름’ 값은 모두같고, 회전을 많이 할수록 커지므로 라디안 각도의 정의는 회전의 정도를 표현하게 된다. 1 radian은 57.3도 정도 된다. 앞으로 라디안 각도를 사용한다.
각변위는 얼마나 회전했는가를 나타내는 양으로 나중 각도에서 처음 각도를 빼주면 얻을 수 있다.

 

 

◎ 각속도와 각가속도

어떤 시간 간격동안 얼마나 빨리 회전 했는가를 나타내는 양이 평균각속도이다. 이
것은 각변위를 걸린시간으로 나누것으로 정의한다.

 

 

같은 각변위에 대해 시간이 더 짧게 걸렸다면 평균각속도의 값이 더 커진다. 즉, 빨리 회전했다는 뜻이된다. 평균각속도에 부호가 있는데, +는 반시계방향 회전을 나타내고, -는 시계방향 회전을 나타낸다.

평균각속도를 구한 시간 간격 사이에서 각속도가 시시각각 변할 수도 있는데 평균각속도에서는 이것을 나타내지 못한다. 따라서, 순간적인 각속도를 정의할 필요가 있는데, 평균각속도의 정의에서 시간 간격을 무한히 작게 하여 정의 한 것이 순간각속도이다. 순간이란 말을 빼고 그냥 각속도라고도 한다.

 

 

순간각속도는 각도를 시간으로 한 번 미분한 양이다. 또한, 부호로 시계방향과 반시계방향의 회전을 나타낸다.

각속도가 변한다면 얼마나 빨리 회전속도(각속도)가 변하는지 나타내는 용어도 정의할 필요가 있다. 어떤 시간 간격동안에 각속도의 변화가 생겼다면, (각속도의 변화량/걸린시간)은 각속도가 평균적으로 얼마나 빨리 변했는지를 나타낼 수 있고, 이것이 바로 평균각가속도이다.

 

 

순간적인 각가속도도 정의할 필요가 있겠다. 이것은 평균각가속도에서 시간 간격을 무한히 작게 하면 얻을 수 있다.

 

여기도 역시 순간이란 말은 빼고 각가속도라 해도 된다. 각가속도는 각속도를 시간으로 한 번 미분하여 얻을 수 있고, 각도를 시간으로 두 번 미분해도 얻을 수 있다.

 

지금까지 회전상태를 나타내는 용어들을 정의하였다. 각도, 각속도, 각가속도 이 세 가지가 중요한 정의이다. 각가속도도 변할 수 있으므로 각각가속도...와 같이 계속해서 더 정의해 나갈 수도 있겠지만 더 이상 정의하지는 않는다. 그 이유는 각가속도까지만 정의해도 회전운동의 법칙들로부터 회전상태가 모두 결정되기 때문이다.

◎ 각가속도가 일정한 운동

앞 절에서 세 가지 회전에 대한 용어인 각도, 각속도, 각가속도를 살펴보았다. 만일 어떤 물체가 회전하는데 각가속도가 일정하다면 앞으로의 운동이 어떻게 될까? 이것은 물리법칙과 상관없이 수학적으로 계산하여 알아낼 수 있다.

각가속도가 일정한 운동을 등각가속도 운동이라고 한다. 등각가속도 운동공식은 선형 운동에서의 등가속도 운동공식으로부터 쉽게 얻을 수 있다. 그 공식에서 위치를 각도로, 속도를 각속도로, 가속도를 각가속도로 바꿔주기만 하면 된다. 아래에 등각가속도 운동공식을 나타내었다.

 

 

예를 들어 다음과 같은 문제를 위 공식으로 풀어낼 수 있다.

 

 

◎ 회전운동과 선형운동의 관계

어떤 물체가 고정된 축 주위를 회전한다고 하자. 이 물체의 한 점은 원운동할 것이다. 물체의 각속도와 각가속도에 의해 이 점은 속력이 있을 것이고, 접선가속도와 구심가속도가 있을 것이다.

회전운동을 나타내는 양과 선형운동을 나타내는 양과는 어떤 관계가 있는지 아래 사진을 보자.

 

   

 

 

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회전운동에너지

 

◎ 회전운동에너지

 

물체가 회전할 때, 물체의 각 부분은 선형 운동을 하고 있다. 따라서, 각 부분은 질량도 갖고 있으므로 운동에너지가 있다. 각 부분의 운동에너지들을 다 더하면 이 물체 전체의 운동에너지가 될 것이고, 회전하고 있으므로 회전운동에너지라 부른다. 회전운동에너지의 크기는 다음과 같이 구할 수 있다.

 

 

여기에 I로 나타낸 양이 있는데 이것을 관성모멘트라 한다. 관성모멘트와 각속도만 알면 회전운동에너지는 위와 같이 아주 쉽게 알 수 있다. 회전운동에너지뿐만 아니라 회전운동을 분석하려면 반드시 따라 나오는 양이 관성모멘트이므로 잘 알아두어야 한다. 그렇다면, 관성모멘트란 양은 무엇인가? 어떤 의미를 갖고 있는가?

 

◎ 관성모멘트

 

관성모멘트의 의미는 회전운동의 법칙을 공부해야 그 의미가 분명해지는데, 미리 이야기 하자면, 관성모멘트는 회전에 대한 관성을 나타내는 양이다. 즉, 관성모멘트가 클수록 회전을 잘 안 바꾸려 한다는 것이다.

다음에 돌림힘을 토크라고 정의 할 것인데, 토크를 받는 물체는 회전이 점점 빨라지거나 느려진다. 그런데, 관성모멘트가 크면 이런 변화가 적게 일어난다. 회전을 잘 안 바꾸려는 관성모멘트의 성질 때문에 그렇다. 관성모멘트는 다음과 같이 정의된다.

 

 

여기서 mi는 i번 째의 질량이고, ri는 축으로부터의 수직거리를 말한다. 바위 덩어리 같이 연속적인 물체는 위 두 번째 식으로 적분하여 구해야 한다. 회전축에서 질량들의 분포가 멀수록 관성모멘트는 더 커진다. 아래에 예를 들어보겠다.

 

 

그런데, 위 정의에 의해 관성모멘트를 구하려면 너무 복잡한 수학 계산을 해야 하므로, 우선 관성모멘트의 물리적인 의미에 중점을 두고, 간단한 경우 외에는 주어진 관성모멘트 값을 이용할 것이다.

 

 

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토크(돌림힘)

 

◎ 토크의 정의

 

다음 그림과 같이 스패너로 볼트를 돌려서 조일 때, 어떻게 해야 돌림힘이 클까? 돌림힘은 회전축으로부터 먼 곳에서 힘을 가할 때 커진다. 그리고 한 가지 더 고려해야 하는데, 힘을 주는 방향도 관련이 있다. 회전축에서 멀어지는 방향으로 당기는 힘은 회전운동과 아무런 상관이 없다. 축과 힘을 주는 지점을 연결하는 선과 수직인 방향의 힘만이 회전운동에 영향을 준다. 이 힘이 클 수록 돌림힘이 커진다. 따라서, 다음과 같이 돌림힘을 정의한다. 돌림힘을 토크라 부른다.

 

 

위 토크의 정의 식에서 첫 번째나 두 번째 식 중에서 계산하기 편한 것을 사용하면 된다. 토크에도 부호가 있다. 반시계방향으로 돌려주려는 토크는 +이고, 시계방향으로 돌려주려는 토크는 -이다.(하지만, 이 부호는 절대적인 것은 아니고, 반대로 부호를 정의하고 사용해도 된다. 이때는 각도, 각속도, 각가속도의 부호도 다 반대로 해야 한다.) 예를 들어, 토크의 합은 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

 

◎ 토크를 받는 강체의 운동

강체는 단단한 물체를 말한다. 회전축이 있는 강체에 토크를 가하면 어떻게 될까? 회전상태가 갈라질 것이다. 정확히 회전이 어떻게 변할까? 결과를 살펴보도록 하자.

 

 

강체가 외부로부터 받는 토크의 합은 그 강체의 관성모멘트와 각가속도의 곱과 같다. 이것은 회전에 관한 뉴턴 제2법칙이라 할 수 있다. 즉, 각가속도는 토크에 비례하고, 관성모멘트에 반비례한다. 여기서, 관성모멘트의 의미가 분명해진다. 같은토크에 대해 관성모멘트가 클수록 각가속도가 작아진다.

따라서, 관성모멘트는 회전을 잘 안 바꾸려는 성질, 즉, 회전의 관성을 나타낸다.

 

토크를 받는 물체는 각가속도가 생기는데 예를 들어보면 다음과 같다.

 

 

 

 

 

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