[물리공부] 선운동량과 충돌 개념,문제

선운동량과 충돌 에서는 선운동량의 개념을 공부한다.

선운동량은 물체를 멈추기 어려운 정도를 나타내며, 충격량 만큼 물체의 선운동량이 변하게 됨을 공부한다.

또한, 계 외부에서 힘이 가해지지 않은 경우, 계 전체의 선운동량의 합이 보존된다는 ‘선운동량 보존법칙’에 대해 공부하고, 충돌 현상을 포함한 여러 가지의 물리 현상을 분석해본다.

 

 

(선)운동량

 

◎ 선운동량의 정의

 

선형으로 움직이는 운동의 양을 나타내는 선운동량은 질량에 속도를 곱한 양으로 정의된다.

 

선운동량을 보통 그냥 운동량이라고 부른다. 사실, 회전의 운동량 즉 각운동량도 있어서 이것과 구별할 필요가 있을 때 선운동량이라 부르는 것이다. 어떤 양을 정의 하던지 정의 자체가 중요한 것이 아니고 그 정의된 양이 다른 양과 어떤 관계에 있는지, 어떤 성질을 갖고 있는 지가 중요하다.

후에 보겠지만 선운동량과 관련하여 가장 중요한 성질은 ‘선운동량 보존법칙’이다. 선운동량은 멈추기 어려운 정도를 나타낸다. 정의에 의하면, 1kg 물체가 20m/s로 날아갈 때와 20kg 물체가 1m/s로 날아갈 때 선운동량의 크기는 같다. 또한, 선운동량은 벡터량이다. 크기가 같더라도 반대로 움직인다면 선운동량은 다른 것이다.

 

뉴턴 제2법칙은 선운동량으로 나타낼 수 있다.

 

 

즉, 어떤 물체가 받는 알짜힘은 운동량의 시간 변화율과 같다.

 

◎ 선운동량 보존법칙

 

선운동량이 중요한 이유는 바로 이 보존법칙이 있기 때문이다. 선운동량 보존법칙은 항상 성립하는 것은 아니다. 조건이 있다. 어떤 물리계(하나 혹은 여러 집단으로 이루어진 계)의 전체 선운동량이 보존되기 위해서는 그 계가 외부로부터 받는 힘의 합이 0 이어야 한다.

두 물체가 충돌하는 경우가 대표적인 예이다. 충돌 시에 두 물체 사이에서만 힘을 주고 받았다. 즉, 두 물체로 이루어진 물리계 내부의 힘들만 있었다. 이런 경우에만 전체 선운동량은 보존된다. 다음에 그 증명이 있다.

 

 

즉, 외부 힘 없이 물리계 내부 힘들만 있다면 서로간에 작용,반작용 쌍들만 있으므로 모두 합하면 0 이 된다. 따라서, 전체 선운동량은 변하지 않게된다. 물건을 집어 던질 때 내가 뒤로 밀리는 것은 바로 선운동량 보존법칙의 결과이다. 나와 물건의 선운동량의 합은 원래 0 이었고, 던질 때 외부 힘이 없었으므로 선운동량의 합은 계속 0 을 유지해야 한다. 따라서 물건이 +값의 운동량을 가지면 나는 -값의 운동량을 갖게 되어 뒤로 밀리게 된다.

 

◎ 충격량과 선운동량

 

선운동량과 관련해서 중요한 충격량이란 양이 있다. 이것은 얼마나 충격을 받았는가를 나타내는 양으로 다음과 같이 받은 힘이 클수록, 힘을 받는 시간이 길수록 충격량이 크도록 정의된다.

 

 

충격량의 정확한 정의는 힘을 시간으로 적분한 양이다. 그런데, 보통 충격량은 짧은 시간동안 발생하므로 그 동안의 변하는 힘을 일일이 알아내려 한다면 너무 어렵고 복잡해진다.

따라서, 보다 편리하게 충격량을 다루기 위해서 평균힘을 도입한다. 충격을 받는 동안의 평균적인 힘을 알게 되면 충격량은 평균힘x시간으로 쉽게구할 수 있다. 충격량도 벡터량이다.

충격량과 선운동량은 아주 중요한 관계가 있다. 어떤 물체가 받은 충격량은 그 물체의 선운동량의 변화량과 같다는 것이다. 다음과 같은 관계이다.

 

 

또한,‘충격량=평균힘x시간=선운동량의 변화량’이므로 충격을 받는 동안의 평균힘을 다음과 같이 구할 수 있다.(일차원의 예이다.)

 

               

 

이 관계를 이용하면 자동차가 벽에 충돌할 때 평균적으로 받는 힘을 쉽게 알아낼 수 있다.

 

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충돌의 분석

 

충돌 현상을 분석하려면 선운동량 보존법칙을 반드시 이용해야 한다. 충돌은 크게 세 가지로 분류한다.

탄성충돌, 비탄성충돌, 완전비탄성충돌이 그것이다. 탄성충돌은 충돌 전,후에 선운동량뿐만 아니라 운동에너지의 합도 보존되는 충돌이다. 예를 들면 당구공의 충돌이 거의 탄성충돌에 가깝다. 당구공도 충돌 시에열과 소리가 약간 발생하므로 에너지 보존법칙에 의해 운동에너지가 약간 줄어들게 된다. 하지만, 근사적으로 탄성충돌로 생각해도 아주 좋은 결과를 준다.

보통의 대부분의 충돌은 비탄성충돌이다. 이 경우 선운동량은 보존되지만 운동에너지는 보존되지 않는다.

자동차의 충돌이 좋은 예이다. 이 경우 자동차가 찌그러들며 열에너지가 많이 발생한다.

완전비탄성충돌은 충돌 후에 두 물체가 서로 한덩어리가 되어 움직이는 충돌을 말한다. 예를 들면, 기차가 다른 칸과 충돌 후 고리가 걸리며 하나로 움직이는 경우가 그것이다. 큰 물고기가 가다가 작은 물고기를 잡아 먹는 것도 완전비탄성충돌이다. 뱃속에서 같이 움직이기 때문이다. 아래에 탄성충돌과 완전비탄성충돌을 분석하였다.

 

◎ 두 물체의 1차원 충돌

 

두 물체가 1차원 상에서 완전비탄성충돌을 하면, 선운동량 보존법칙에 의해 다음과 같이 충돌 후의 속도를 미리 알 수 있다.

 

 

1차원 탄성충돌의 경우에는 선운동량 보존과 운동에너지 보존에 의해 충돌 후의 속
도를 다음과 같이 미리 알 수 있다.

 

 

 

◎ 두 물체의 2차원 충돌

 

 

2차원 탄성충돌은 다음과 같이 분석된다. 하지만, 결정해야할 변수는 4개인데 식이3개 이므로 식이 하나 모자란다. 따라서, 변수 하나는 측정으로 결정하고 나머지 변수 세 개를 풀어낼 수 있다.

 

2차원 완전비탄성충돌은 한 덩어리로 움직이므로 쉽게 풀리며 아래에 예가 있다.

 

 

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입자계의 운동

 

◎ 질량중심과 입자계의 뉴턴 제2법칙

 

여러 입자들로 이루어진 입자계의 질량중심은 질량분포의 평균위치이며 수학적으로 다음과 같이 정의된다.

 

 

이 입자계가 힘을 받고 있다면 질량중심이 변해갈 것이다. 질량중심은 어떻게 움직일까?

아래에 질량중심의 움직임에 관한 식을 유도하였으며, 이것이 입자계의 뉴턴 제2법칙이다.

 

 

즉, 입자계의 질량중심은 외부 힘의 합에 의해 가속한다. 이 형태는 입자 하나에 대한 뉴턴 제2법칙과 형태가 아주 유사하다. 계가 아무리 복잡해도 질량중심은 상당히 단순하게 운동한다는 것을 알 수 있다.

 

 

◎ 변형 가능한 계

 

사람도 일종의 변형 가능한 계이다. 사람은 아주 많은 입자들로 이루어져 있다.

물풍선도 마찬가지이다. 이러한 물리계는 입자계의 뉴턴 제2법칙을 만족한다.

 

 

 

 

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