[물리공부] 진동 운동 개념,문제

진동 운동에서는 진동 운동의 물리적 원인과 운동의 상태를 공부한다. 변위에 비례하는 복원력을 받으면 물체는 단순 조화운동을 하게 되며, 이러한 운동을 하는 물리적인 예들을 살펴본다. 왕복 운동의 진동수는 무엇에 의해 결정되는지도 공부하고, 저항력이 작용할 때의 감쇠 진동의 형태도 살펴본다. 또한, 강제로 진동시킬 때는 공명 조건이 맞을 경우 공명현상이 발생함을 공부한다.

 

단순 조화운동

◎ 단순 조화운동의 일반적인 형태 

단순 조화운동은 스프링이나 단진자의 운동하는 모습을 보면 직관적으로 이해할 수 있다. 이것들은 원점을 중심으로 좌우로 왕복 운동을 되풀이하고 있다. 그러나, 왕복으로 운동한다고 해서 모두 단순 조화운동은 아니고, 변위에 비례하는 힘을 받아 가속하며 운동하는 경우를 단순 조화운동이라 한다. 즉, 원점에서 멀어지면 멀어지는 만큼 원점으로 돌아가려는 힘도 비례하여 커지는 경우이다. 스프링이 주는 힘에 관한 ‘후크의 법칙’즉, F=-kx가 바로 변위에 비례하는 힘이다. 이런 힘을 받아 운동할 때는 시간에 관한 삼각함수 형태로 진동하게 되며(앞으로 살펴보겠다.), 상당히 단순한 형태여서 단순 조화운동이라고 한다.

 

스프링이 진동하는 경우에 뉴턴 제2법칙을 적용하여 보자.

 

여기서 볼 수 있듯이, F=ma는 결국 운동 방정식이다(제일 밑에 있는 식). 즉, 이 방정식을 풀어 위치x(t)를 구하면 시간에 따라 위치가 어떻게 변해 가는지 알 수 있다는 말이다. k/m은 상수이므로 이것을 그냥 ω2이라고 정의하여 풀면 형태가 좀 더 간편해진다. 나중에 풀어서 나온 답에서 ω를 √k/m으로 바꿔 주면 된다. 그런데, 이와 같은 방정식의 형태는 스프링에만 국한되지 않고, 여러 물리계에서 공통적으로 나타난다. 단지, 상수 ω만이 다른 형태로 바뀔 뿐이다. 그렇다면, 스프링과 같은 유형의 운동을 하는 모든 물리계의 운동은 한꺼번에 알아낼 수 있다. 이제 ω를 사용하여 일반적인 단순 조화운동 방정식을 풀어보자. 이 운동 방정식은 미분이 포함된 미분 방정식이다. 미분 방정식을 푼다는 것은 미분이 없는 형태로 나타내는 것이다.(미분 방정식의 수학적인 풀이 방법을 따로 많이 공부해야 하므로, 여기서는 결과만 받아들이고 사용하겠습니다.) 이 미분 방정식을 푼 결과는 아래와 같다.

 

 

답을 보면, 코사인 함수 형태로 진동하고 있음을 알 수 있다. 미분 방정식의 답에는 항상 결정되지 않은 어떤 상수가 포함되어 있으며, 그래서 이것을 일반해라고부른다. 이 상수들은 다른 조건에 의해 결정된다. 단순 조화운동의 경우에는 초기 조건(즉, 시간이 0초일 때의 조건)에 의해 상수들이 결정된다. 코사인 함수 형태의 진동은 같지만, 처음에 어떻게 시작되었는지에 따라 진폭 A와 위상 상수φ가 달라진다. 위 진동의 모양을 그리면 다음과 같다.

 

 

만일 위상상수 φ가 0 이면 아래와 같이 진동한다. 즉 0 초일 때 최대 변위 지점에서 시작한다.

 

따라서, φ가 달라지면 코사인 함수가 옆으로 이동된 모양으로 나타난다. 위 코사인 함수를 분석해 보면 다음과 같이 진동에 대한 중요한 몇 가지 양들을 알아낼 수 있다. 진동의 주기 T는 한 번 진동하는 데 걸리는 시간을 나타내며, 다음과 같다.

진동수 f는 단위 시간 동안(보통, 1초 동안) 몇 번 진동하는 지를 나타내며, 항상 주기 T의 역수이다. 따라서, 다음과 같다.

 

ω는 각진동수라고 부르며, 진동수 f와는 다음과 같은 관계가 있다.

 

단순 조화운동을 이해하는 또 한 가지 방법은 원운동 하는 물체의 그림자를 보는 것이다. 그림과 같이 운동하는 면에 대해 옆으로 빛을 비추면 그림자는 좌우로 왕복운동을 하게 되는데, 이 운동이 정확히 단순 조화운동이다.

 

◎ 용수철에 연결된 물체의 운동

앞에서 살펴 본 것처럼 용수철의 경우 ω를 √k/m로 바꾸어 주면 된다. 따라서, 다음과 같이 운동한다.

 

또한, 용수철의 역학적 에너지는 다음과 같이 진폭의 제곱에만 의존한다.

 

에너지 보존법칙을 이용해도 스프링의 운동을 마찬가지로 다음과 같이 분석해 낼 수 있다.

 

◎ 단진자의 운동

 

단진자의 경우도 마찬가지로 단순 조화운동을 한다. 단, 흔들리는 각도가 작아야 (대략 5도 이하) 거의 근사적으로 단순 조화운동을 하고, 크게 흔들릴수록 단순 조화운동에서 더욱 벗어나서 수학적으로 표현하기 대단히 힘들게 된다.(이 경우, 컴퓨터를 이용한 수치해석으로 얼마든지 정확히 운동을 기술할 수 있으나, 이것은 생략한다.) 따라서, 단진자의 경우는 작게 흔들리는 경우에 국한하여 생각해 보겠다.

 

 

위 그림처럼, 원의 접선 방향으로 받는 힘은 -mgsinθ이다. 음의 부호는 원점을 향한다는 뜻이다. 뉴턴 제2법칙으로부터 운동방정식을 세워보면 다음과 같다. s는 원점부터 물체가 있는 곳까지의 호의 길이이며, 이것을 시간으로 두 번 미분한 양은 접선방향의 가속도(접선 가속도)이다. 또한, 호의 길이는 s=Lθ이므로 운동 방정식을 다음과 같이 바꿀 수 있다.

 

이 식에서 각도 θ가 작다고 가정하면 sinθ를 θ로 근사할 수 있다.(아래 표를 보면 두 값이 5도 이하에서 거의 일치함을 볼 수 있다.)

 

따라서, 작게 흔들린다고 가정하면, 단진자의 운동방정식은 근사적으로 다음과 같이 된다.

 

결국, 단순 조화운동의 결과에 있는 ω를 √mgd/I 로 바꿔주면 단진자의 결과를 모두 얻을 수 있다. 아래에 단진자의 결과를 나타내었다.

 

‘부피를 가진 물체의 진자’는 단진자라 하지 않고, ‘물리 진자’라 한다. 야구방망이 끝은 살짝 잡고 흔들어 주면 이리저리 움직이며 진동하는데 이런 것이 바로 물리 진자이다. 물리 진자도 흔들리는 각도가 작을 때 거의 단순 조화운동을 한다. 토크와 각가속도의 관계를 이용하여 운동 방정식을 찾으면 다음과 같이 각도에 대한 운동 방정식을 얻는다.

 

따라서, 단순 조화운동의 ω를 √mgd/I 로 바꿔주면 다음과 같이 물리 진자의 결과를 얻는다.

 

 

 

 

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감쇠 진동

 

◎ 강제 진동의 운동 방정식

물속에서 진자가 흔들리면 물의 저항에 의해 진동이 점점 감쇠한다. 에너지가 물속으로 전달되기 때문이다. 속력에 비례하는 저항력이 추가가 된다면 운동 방정식은 다음과 같은 복잡한 형태가 된다.

 

좌변의 두 번째 항이 바로 저항력을 나타내고 있다. b는 저항을 받는 정도를 나타내는 상수이며, 액체의 점성이 클수록 b의 값이 더 크다. 물론, 위 식은 근사식이다. 실제는 훨씬 더 복잡하지만, 감쇠한다는 물리적인 상황은 마찬가지이므로, 여기서는 위와 같이 간단한 경우만 살펴보겠다. 수식은 생략하고, 특징적인 진동의 형태는 다음과 같다. 진폭이 점점 줄어드는 것을 볼 수 있다.

만일 , 액체의 저항력이 어느 크기 이상으로 커진다면, 진동 없이 원점으로 한 번에 천천히 오게 된다. 꿀 속에서의 스프링의 움직임을 연상해 보면 이해가 갈 것이다. 그래서, 저항력을 받는 단진자의 운동은 다음 세 가지로 나눌 수 있다.

 

여기서, 빨간색 선은 진동운동이 없어지는 경계를 나타낸다.

 

 

 

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강제 진동

 

◎ 강제 진동의 운동 방정식

 

위 감쇠 진동에 외부에서 강제로 진동하도록 하는 힘을 가하게 되는 경우를 강제 진동이라고 한다. 감쇠 진동하는 스프링에 가한 강제 진동의 힘을 F0 sinwt 라 하면, 운동 방정식은 다음과 같이 훨씬 더 복잡해진다.

 

여기서, √k/m 은 스프링 고유의 각 진동수이며 ω0로 나타내겠다. ω는 외부에서 가해주는 강제 진동의 각 진동수이다.

 

◎ 강제 진동의 해와 공명

 

위 방정식의 해는 다음과 같다. 이것은 시간이 오래 지나 진동이 어느 정도 안정된 다음의 모양을 나타내는 해이다.

 

처음에는 대단히 복잡하게 운동하지만, 오랜 시간이 지나면 강제 진동수에 맞추어 스프링이 진동하게 된다. 여기서, 주목해야 하는 것은 진폭 A의 형태이다. 만일, 스프링의 고유진동수 ω0 와 강제진동수 ω가 일치하게 되면 A의 분모가 작아지므로 A가 커지게 되는데, 이것을 ‘공명’이라고 한다. 공명 조건을 만족하면 심하게 진동하게 된다. 특히, 저항계수 b가 작으면, A의 분모가 작아지므로 공명은 대단히 크게 일어난다. 공명이란 말은 다음과 같이 정의할 수 있다.

 

바람에 의해 다리가 공명이 일어나면, 무너질 수도 있다. 현대식 다리는 공명이 일어나지 못하도록 하는 장치가 포함되어 있다. 초고층 건물도 마찬가지이다. 지진이나 바람에 의해 건물이 공명되지 못하게 진동을 흡수하는 장치가 건물 내에 있다.

 

 

퀴즈 9.pdf

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