[물리공부] 일과 에너지 개념,문제

건물을 짓거나, 자동차를 움직이게 하는 등, 일을 하기 위해서는 에너지가 필요하다. 즉, 에너지를 써야 일을 할 수 있다. 일과 에너지에서는 ‘일’을 얼마나 했는지를 나타내는 양을 먼저 정의하고, 일을 할 수 있는 잠재력이란 개념으로 ‘에너지’를 정의한다. 운동에너지, 중력 퍼텐셜에너지, 탄성 퍼텐셜에너지 등 에너지는 여러가지 형태가 있으며, 모든 에너지들을 다 합한 전체 에너지의 양은 변하지 않는다는 에너지 보존법칙을 공부한다.

 

 

공부를 시작하기 전에 염두에 두어야 할 사항을 몇 가지 정리하였다.

1. 일을 하려면 에너지가 있어야 하는데, 에너지는 여러 가지 형태가 있다.
(예: 운동에너지, 중력위치에너지, 탄성에너지, 전기위치에너지, 열에너지)

2. 일을 하려면 에너지를 써야 하는데, 일을 한다고 에너지 자체가 없어지지는 않는다.

일을 하면 에너지의 형태가 바뀔 뿐, 에너지가 사라지는 것은 아니다.
(예: 중력위치에너지--> 운동에너지, 운동에너지--> 탄성에너지 등)

3. A가 B에 어떤 (+)의 일을 하면, A는 그만큼 에너지가 줄고, B는 그만큼
에너지가 증가한다.

따라서, 일은 에너지를 써서 없애는 작업이 아니고 에너지를 한 형태에서 다른 형태로 전달하는 작업이다.

4. 우주 안의 여러 형태의 에너지들은 에너지의 형태가 바뀌거나, 다른 장소로
이동할 수는 있지만, 새로 만들어지거나 없어지지 않는다. 즉 에너지는 보존된다.

아래에 돌을 들어 올렸다가 떨어뜨릴 때, 에너지가 변환되는 과정을 보였다.

 

 

하나의 물리계가 일을 하면 그 일을 받는 대상으로 에너지가 전달되고 있는 것을 볼 수 있다.

※물리계 : 입자 한 개 혹은 여러 집단

 

일의 정의 

 

◎ 일정한 힘이 한 일

어떤 물체를 힘을 주어 끌고 가면 일을 한 것이다.

일상적인 일의 의미도 비슷하며 물리에서는 일을 다음과 같이 정의 한다.

즉, 힘을 많이 줄수록, 물체를 많이 이동시킬수록 많은 일을 한 것으로 정의한다. 바닥에 놓인 박스를 5N의 힘으로 옆으로 밀어 3m 까지 밀고 갔다면 5Nx3m=15Nm=15J의 일을 한 것이다.

J는 Nm를 하나로 표현한 일의 단위(나중에 보면 에너지 단위도 J이다.)로 ‘주울(혹은 줄, Joule)’이라고 읽는다. 그

런데 만일 박스를 밀 때 옆으로 밀지 않고 비스듬한 방향으로 밀었다면 이때는 일의 양이 얼마일까?

즉, 힘을 준 방향과 물체가 이동한 방향이 다를 때는 얼마나 일을 한 것인가? 아래 그림에 예를 들었다.

 

 

이 때, 이동 방향과 수직인 힘의 성분은 박스의 움직임에 아무런 역할도 하지 않았다.

이동에 기여한 힘은 이동 방향과 수평인 힘의 성분(Fcosθ)만이다.

따라서, 이때 힘 F로 한 일의 양은 (Fcosθ)x(Δr)이 되어 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

 

 

 

◎ 변하는 힘이 한 일

 

만일 박스를 밀고 가는데 주고 있는 힘이 변하고 있다면 얼마나 일을 한 것인가?
아래 그림과 같은 경우를 생각해 보자.

 

 

위치마다 힘이 변하고 있다. 이동 방향과 수직인 힘의 성분은 아무 일도 안 하므로 변하는 힘의 x성분만, 즉 Fx(x) 만 일에 기여했을 것이다. 이동 변위를 무한히 잘게 나누어 보자.

첫 번째 dx (무한히 작은 변위란 뜻이다.)구역을 지날 때 한 일은 힘x거리, 즉, Fx(x)dx 이다.

두 번째 구역, 세 번째 구역,...을 지나면서 한 일들은 힘만 조금씩 달라졌을 뿐 역시 마찬가지로 Fx(x)dx로 표현된다. x1에서 x2까지 이렇게 구한 작을 일들을 모두 더해보자 그러면 전체 일이 될 것이다.

이것은 바로 수학에서 말하는 적분과 정확히 똑같은 계산이다.

따라서, 변하는 힘이 한 일은 다음과 같이 적분으로 나타낼 수 있다.

 

 

아래는 수학에서의 간단한 적분공식이다.

 

 

다음 예제는 스프링을 당길 때, 내가 한 일과 스프링이 한 일을 계산한 것이다.

힘이 변하고 있으므로 적분하여 계산해야 한다.

 

 

만일 물체에 준 힘이 일정하지 않고 물체가 움직인 경로도 직선이 아니라면 일의 양을 어떻게 계산해야 할까?

이 경우는 대단히 복합하게 계산되어야 한다. 우선 움직인 경로를 무한히 작은 구역들로 나누고, 각 구역마다 한 작은 일들을 계산한 다음에 경로의 처음부터 끝까지 이 작은 일들을 모두 더하면 된다.

결국, 이 계산은 다음 그림과 같이 나타낼 수 있다.

 

 

이런 적분은 벡터의 경로적분이라고 하며 복잡한 계산 중의 하나이다. 일반물리에서는 쉽게 계산되는 특별한 경우 외에는 이 계산을 직접하지는 않을 것이다.

 

지금까지 일에 대한 정의를 하였다. 아무리 복잡한 경우라도, 어떤 대상에 힘을 많이 주어 많이 이동시킬 때 많은 일을 한 것이다.

 

 

 

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운동에너지

 

◎ 운동에너지의 정의

운동에너지는 다음과 같이 정의된다.

 

 

 

운동에너지는 어떤 양인가? 의미는 무엇인가?
이것을 이해하기 위해 먼저 일-운동에너지 정리를 이해해야 한다.

증명이 잘 이해가 되지 않으면, 나중에 벡터의 미분 적분에 대한 지식이 생길 때 유도해 보길 권한다.

대신, 결과가 나타내는 것은 분명히 이해해야 한다. 일-운동에너지 정리는 다음과 같다.

 

 

운동에너지의 의미를 생각해 보자. 어떤 물체가 벽에 튀어나온 못을 향해 날아가고 있다고 해보자.

물체가 못에 부딪혀 못이 벽에 더 깊이 박히고 물체는 멈춘다. 날아가던 물체가 못을 박는 일을 한 것이다.

얼마나 일을 했을까? 일-운동에너지 정리에 있는 알짜일은 물체가 못으로부터 받은 일이다.

물체가 못에 한 일은 반작용 힘에 의한 일이므로 위 알짜일에 -부호를 붙이면 된다.

일-운동에너지 정리의 우변은 나중운동에너지-처음운동에너지=0-(1/2)mv2 =-(1/2)mv2 이다. 따

라서 물체가 못에 한 일은 여기에 -부호를 붙여 (1/2)mv2 이 된다. 따라서, 물체가 멈출 때까지 물체는 갖고 있던 운동에너지만큼 일을 하였다. 결국, 운동에너지는 멈출 때까지 외부에 할 수 있는 일의 양을 나타낸다.

 

 

 

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퍼텐셜에너지(위치에너지)

 

◎ 중력과 중력퍼텐셜에너지

 

중력하에서 물체가 위치에 따라 갖고 있는 중력퍼텐셜에너지는 다음과 같이 정의된다.

 

 

y=0인 위치는 임의로 선택해도 상관없다.

나중에 보겠지만, 에너지 차이만큼 일을주고 받기 때문에 에너지 크기 자체는 중요하지 않기 때문이다.

중력퍼텐셜에너지는 어떤 의미를 갖는가?

물체가 떨어져서 중력퍼텐셜에너지가 줄어들면 중력은 그만큼 외부에 일을 한다.

 

          

 

 

위 그림처럼 물체가 높이 yi에서 yf로 내려왔다고 하자. 중

력은 아래방향으로 mg이므로 중력이 한 일은 mg(yi-yf)=Ui-Uf=-(Uf-Ui)=-ΔU이다.

즉, 중력이 일 한만큼 중력퍼텐셜에너지가 줄어든다.

따라서, 중력퍼텐셜에너지는 물체가 y=0에 올 때까지 중력이 외부에 할 수 있는 일의 양을 나타낸다.
내가 물체를 들어올리면 나는 얼만큼 일하고 중력퍼텐셜에너지는 어떻게 되는가?

이것도 역시 복잡한 계산이었는데 계산 자체가 잘 이해되지 않더라도 결과만큼은 꼭 알아두기바란다.

물체를 들어 올릴 때 내가 물체에 한 일과 중력퍼텐셜에너지의 증가량은똑같다.

모든 에너지가 이와 같은 관계에 있다. 어떤 대상이 외부에서 일을 받으면 그만큼 에너지가 증가하고, 외부에 일을 하면 그 대상의 에너지는 그만큼 감소한다.

 

◎ 스프링과 탄성퍼텐셜에너지

 

스프링의 탄성퍼텐셜에너지는 다음과 같이 정의된다.

 

 

탄성퍼텐셜에너지는 어떤 의미를 갖는가?

 

 

스프링이 물체를 xi에서 xf로 끌고 왔다고 하자. 이 때 스프링이 한 일을 계산하면 다음과 같다.

 

 

위 2장의 예제에서 스프링이 원점에 올 때까지 한 일을 계산한 바 있다.

마찬가지계산이며 여기서는 나중 위치가 xf인 경우의 계산이다.

따라서, 스프링이 일한 만큼 스프링의 탄성퍼텐셜에너지가 감소한다.

결국, 탄성퍼텐셜에너지는 스프링이 원점에 올 때까지 외부에 할 수 있는 일의 양을 나타낸다.

내가 스프링을 당겨 늘이면 어떻게 되는가?
내가 한 일 역시 위와 마찬가지로 계산할 수 있으며 다음과 같다.

 

 

그러므로, 내가 스프링에 대해 일하면 그만큼 스프링의 탄성퍼텐셜에너지가 증가한다.

◎ 보존력과 퍼텐셜에너지의 관계

중력, 탄성력, 전기력 등 퍼텐셜에너지를 정의 할 수 있는 힘을 ‘보존력’이라 한다.

이와 반면에, 마찰력, 공기저항 등은 위치마다 힘이 고정되어 있지 않다.

예를들어 움직이지 않으면 운동마찰력은 없다. 이런 힘들은 퍼텐셜에너지를 정의 할 수 없다. 앞

에서 몇 가지 경우를 살펴본 것처럼, 보존력이 일을 하면 그 보존력에 대한 퍼텐셜에너지는 감소한다.(예를 들어, 중력이 일을 하면 중력퍼텐셜에너지가 감소하고, 스프링이 일을 하면 탄성퍼텐셜에너지가 감소한다.)

이것은 일반적으로 성립하며 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

여기서, 아래 첨자 c는 보존력(conservative force)를 뜻하는 약자이다.

 

에너지 보존법칙

 

◎ 역학적 에너지 보존법칙

 

어떤 물체가 보존력만 받고 있다고 하자.

그러면 그 물체가 받는 알짜일은 일-운동 에너지 정리에 의해 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

여기서, 아래 첨자들은 보존력들을 나타내고 있다.

에너지들을 운동에너지가 있는 제일 우변으로 이항시켜보면 다음과 같이 된다.

 

따라서, 역학적 에너지가 보존법칙을 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

 

◎ 에너지 보존법칙

 

마찰은 비보존력인데, 물체가 마찰을 받으며 움직이면 운동에너지가 줄어들고 열에너지가 발생하는데, 운동에너지가 줄어든 만큼 열에너지가 발생하게 된다.

따라서 열에너지도 포함하여 모든 형태의 에너지들을 다 합해보면 우주 전체의 에너지양은 변하지 않고 보존된다. 그러므로 에너지 보존법칙은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

위 두 가지 설명은 같은 내용이다.

 

 

 

퀴즈 4.pdf