[물리공부] 중력의 법칙 개념,문제

 

중력의 법칙에서는 뉴턴의 ‘만유인력의 법칙’에 대하여 공부한다. 모든 물체 사이에는 거리의 제곱에 반비례하고 질량의 곱에 비례하는 인력이 작용한다는 법칙이다. 이 법칙으로 행성들의 운행에 대한 ‘케플러의 법칙’들을 모두 설명할 수 있음을 공부한다. 또한, 중력가속도의 크기가 어떻게 결정되는지, 지구의 밀도가 어떻게 되는지, 인공위성이 지구 주변에서 원운동 하기 위한 조건이 어떻게 되는지 공부한다.

 

뉴턴의 만유인력 법칙

◎ 뉴턴의 만유인력 법칙

 

물체가 원운동을 하기 위해서는 원의 중심으로 당기는 구심력이 있어야 한다. 줄에 돌을 매달아 돌리면 끈의 장력이 구심력의 역할을 하기 때문에 원운동을 하는 것이다. 만일 줄이 끊어진다면 오른쪽 그림처럼 돌은 관성의 법칙에 의해 등속 직선 운동하며 멀어져야 한다.

 

그렇다면 왜 달은 지구 주변을 맴돌고 있는가? 지구로부터 힘을 받고 있지 않다면 등속 직선 운동하며 지구로부터 멀어져야 한다.

 

분명히 지구가 달을 당기는 힘이 있어야 한다. 이 힘이 정말 있을까? 주변을 살펴보니 사과가 사과나무에서 바닥으로 떨어진다. 지구가 당기지 않았다면 떨어질 리가 없다. 지구가 사과를 당기고 있다면 달도 당기고 있지 않을까? 그렇다면 달이 지구 주변을 돌고 있는 것도 다 설명할 수 있다. 이 힘이 무엇일까? 이런 생각을 거듭한 끝에 뉴턴은 모든 물체는 서로 잡아당기고 있다는 만유인력의 법칙을 발견하게 되었다. 만유인력은 두 물체의 질량의 곱에 비례하고 거리 제곱에 반비례하여야 사과와 달 뿐만 아니라 모든 행성들의 운행을 설명할 수 있음을 발견한 것이다. 만유인력의 법칙은 다음과 같이 표현된다.

 

이 표현은 떨어진 거리에 비해 아주 작은 물체들 사이에서만 쓸 수 있는 식이다. 거리에 비해 커다란 물체들 사이에도 당연히 만유인력이 있는데, 그 크기는 어떻게 결정하여야 할까? 다음과 같이 적분하여야 구할 수 있다.

 

 

구형 물체에 대해 이러한 복잡한 적분을 수행하면, 다음과 같은 간단한 결과를 얻게 되는데, 본 강의에서는 적분을 따로 하지 않고 결과만 이용하도록 하겠다.

 

이 힘은 작은 물체끼리의 만유인력과 형태가 똑같다. 차이점은 두 물체 사이의 거리가 중심 간의 거리라는 것뿐이다. 지표면에서 어떤 물체가 받는 만유인력을 계산할 때도 다음과 같이 물체와 지구 중심 간의 거리로 계산하여야 한다.

만유인력은 힘이므로 만유인력의 법칙을 다음과 같이 벡터로 표현할 수 있다.

 

◎ 중력 가속도

지구의 인력에 의해 물체가 가속하며 떨어지는데, 이 가속도를 중력가속도라 하고 g 로 쓴다. 고도가 높아지면 인력이 점점 작아지므로, 중력가속도의 크기도 작아진다. 고도에 따른 중력가속도는 다음과 같이 구할 수 있다.

 

◎ 지구의 질량과 평균밀도

지표면에서 중력가속도가 9.8m/s2임을 이용하여 지구의 질량을 계산할 수 있다. 지표면에서의 중력가속도 식을 이용하여 지구의 질량을 다음과 같이 구할 수 있다.

 

이것을 지구의 부피로 나누면 지구의 밀도를 얻을 수 있다.

 

 

 

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행성과 인공위성의 운동

 

◎ 케플러의 법칙과 뉴턴의 증명

 

1600년대 초반, 독일의 천문학자 케플러(1571-1630)는 그의 스승인 덴마크의 천문학자 브라헤의 천문 관측자료를 받아 이 데이터를 분석하여 행성운동에 관한 세 가지 법칙을 발견하였고(제1, 2법칙(1609), 제3법칙(1619)), 이것을 케플러의 법칙이라고 한다.

 

이것은 축적된 데이터들로부터 얻어낸 법칙들인데, 왜 그렇게 행성들이 운동하는지는 아무도 알지 못했다. 뉴턴은 만유인력의 법칙을 발견한 후, 그가 창시한 미분, 적분학을 이용하여 케플러의 법칙을 모두 증명하였다. 만유인력의 법칙이 우주의 별들의 운행을 지배하고 있다는 것을 알게 된 것이다.

◎ 인공위성 궤도

 

어떤 고도에서 인공위성이 원운동 하려면 속력이 맞아야 한다. 속력이 맞지 않으면 타원 운동하게 된다. 고도에 따른 원운동 속력을 구하면 다음과 같다.

 

 

지구가 하루 한 바퀴씩 돌고 있는데, 지구에서 볼 때, 하늘에 정지한 것처럼 보이는 정지위성이 있다. 정지위성은 적도 상공에서 지구 주변을 하루에 한 바퀴씩 돈다. 이 위성의 거리는 다음과 같이 계산된다.

 

 

정지위성은 대략 적도 상공에 지구반경의 6.6배 되는 곳에 있으며 그 속력은 다음과 같다.

 

 

 

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중력과 에너지 보존법칙

 

◎ 중력 퍼텐셜 에너지

 

중력 퍼텐셜 에너지는 다음과 같이 된다.

중력 퍼텐셜에너지 Ug=mgy는 지표면에서만 쓸 수 있는 근사식이며 위 형태가 일반적인 중력 퍼텐셜 에너지이다.

 

◎ 중력과 에너지 보존

 

중력 하에서 움직이는 행성이나 인공위성은 다음과 같이 역학적 에너지가 보존된다.

 

행성이나 혜성이 태양에 가까워질 때 속력이 빨라지는데, 그것은 위 역학적에너지 보존으로부터 설명할 수 있다.

 

◎ 탈출 속력

지구에서 돌을 던지면 다시 지구로 돌아온다. 어느 정도 속력으로 던져야 지구를 완전히 벗어날 수 있을까? 이 속력이 지구 탈출 속력이다. 에너지 보존에 의해, 지구에서 무한히 멀어질 때 속력이 0 이 되는 초기 속력을 찾아내면 그것이 탈출 속력이다.

 

 

 

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