[물리공부] 전기장 개념,문제

전기장에서는 전하들 사이에 전기력이 작용하여 전기 현상을 일으키게됨을 공부한다. 이 전기력은 ‘쿨롱의 법칙’으로 구할 수 있다. 또한, 전기 현상을 보다 편리하게 다룰 수 있도록 ‘전기장’이란 양을 도입한다. 전하가 주변 공간에 만든 ‘전기장’을 통해 모든 전기현상을 이해하고 설명할 수 있음을 보고, 전기장을 시각화한 ‘전기력선’도 공부한다. 전기장에 대한 ‘가우스 법칙’을 공부하고, 이 법칙을 응용하여 전기장도 구해본다.

 

쿨롱의 법칙

◎ 전하와 전하량 

자연에는 양전하와 음전하 두 가지 종류의 전하가 있다. 같은 종류의 전하들은 서로 밀어내고, 다른 종류의 전하는 서로 당긴다. 전하들 사이에 작용하는 이 힘을 ‘전기력’이라고 한다. 전기력은 질량들 사이에 작용하는 중력(만유인력)과는 또 다른 힘이며, 이 힘에 의해 전기 현상들이 나타나게 된다.

전하를 띤 물체를 계속 쪼개 나가면, 전하량이 나뉘어지는데, 궁극적으로 전자, 양성자, 중성자로 나뉘고, 이들 각각의 전하량은 다음과 같다.

 

언제 물체가 전기를 띠는가? 다시 말해, 전하를 갖게 되는가? 양성자와 중성자가 모여 무거운 원자핵이 만들어지고(원자핵을 만드는 힘은 또 다른 힘이다. ‘강력’이라 한다.), 여기에 전자가 전기력에 의해 사로잡히며, 원자가 만들어진다. 안정된 원자는 양성자의 수와 전자의 수가 같아서 전기적으로 중성이다. 이 원자들이 전기적인 현상에 의해 모여들어 물체가 만들어진다. 이렇게 형성된 물체가 전하를 띠기 위해서는 전자가 떨어져 나가거나, 혹은 전자가 밖에서 들어와야 한다. 그래서, 전체 양성자의 수와 전자의 수에 균형이 깨지면 전기를 띤다(전하가 된다. 대전된다.) 예를 들어, 유리막대를 명주 천에 문지르면 열이 발생하며 전자들이 들뜨며, 유리에 있던 전자의 일부가 명주 천으로 흘러들어 간다(이것은 상대적인 현상으로 덜 들뜨는 쪽으로 전자가 흘러 들어간다.). 그러면, 유리는 양으로 대전되고, 명주 천을 음으로 대전된다. 금속의 경우에는 자유롭게 돌아다니는 전자들이 있어서, 유도에 의해 쉽게 대전시킬 수 있다. 대전된 막대를 가져오면, 금속 내의 전자들이 전기력에 의해 밀리게 되고, 전선을 다른 곳에 연결하면 전선을 타고, 전자가 다른 곳으로 빠져나가며 대전된다. 다음 그림의 예가 있다.

 

 

반면에 절연체는 자유로운 전자들이 없어서 유도에 의해 대전시킬 수 없다. 대전된 물체를 근처에 가져 오면, 단지, 분극(원자핵과 전자가 반대방향으로 약간 어긋난상태)이 일어나며 표면에만 약하게 표면전하가 생길 뿐이다. 막대를 치우면 원상으로 복귀한다. 하지만, 이 분극에 의해서도 여러 가지 전기현상들이 발생한다. 예를들면, 빗으로 머리를 빗은 후(빗은 대전된다.)에 작은 종이 조각에 갖다 대면 종이가 빗에 붙는다. 종이는 전기적으로 중성이지만, 분극에 의해 표면 전하가 생겨서 빗으로부터 전기력을 받기 때문이다.

 

◎ 전기력과 쿨롱의 법칙

프랑스의 물리학자 쿨롱(1736~1806)은 뉴턴의 만유인력의 법칙에 영향을 받아, 전하들끼리 서로 주고받는 힘을 측정하여 쿨롱의 법칙을 발견하였다. 두 점전하 사이에는 거리 제곱에 반비례하고, 각각의 전하량 크기에 비례하는 전기력이 작용한다. 수식으로 표현하면 다음과 같다.

 

ke는 쿨롱상수이며, ke 대신에 1/(4πε0)로 표현하는 경우도 많다. ε0는 진공의 유전율이라고 하는 양으로 진공의 전기적인 성질을 나타내는 중요한 상수이다. 점전하가 아니라 크기를 가진 물체라면 전기력이 어떻게 표현 될까? 저번에 크기를 가진 두 물체의‘만유인력’에서 공부했던 것처럼, 크기를 가진 전하 사이의 전기력은 위 식을 기반으로 적분해야 값을 구할 수 있다. 그러나, 적분 계산이 너무 복잡하므로 본 포스팅에서는 생략하겠다.

전기력은 벡터량이므로 쿨롱의 법칙을 벡터형태로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

어떤 전하가 여러 전하로부터 전기력을 받는다면, 그 전하가 받는 전체 전기력은 각각의 전기력들을 벡터합 해야 한다. 예를 들면, 아래 그림에서 가운데 주황색 화살표들이 각 전하가 받는 전기력들이다.

 

 

 

 

---

 

 

 

전기장

◎ 전기장과 전기력선

쿨롱의 법칙을 통해 모든 전기현상들을 분석할 수 있지만, 보통, 여기에‘전기장’이란 양을 하나 더 도입하여 전기현상 분석에 활용한다. 아래에 정의 하겠지만, 전기장은 공간 차체의 전기적인 성질을 나타내는 양이다. 전기장을 도입한 것은 공간의 전기적 성질을 통해 전기현상들을 이해하려는 시도이며, 전기현상을 보는 관점을 달리하는 것이다. 쿨롱의 법칙은 공간 자체는 생각하지 않으며, 전하라는 물질간의 상호작용을 통해 전기현상을 이해하려는 것이다. 두 가지 접근 방법이 동등하게 보이겠지만, 전기장을 통한 접근방법이 전기현상(더 나아가, 자기현상을 포함한 전자기 현상)에 훨씬 더 깊은 이해를 줄 수 있다. 또한, 공간을 통해 퍼져나가는 전자기 파동(즉, 전파)은 전기장과 자기장의 도입 없이는 발견될 수 없는 현상이다. 전기장은 다음과 같이 정의된다.

 

이것을 수식으로 표현하면 다음과 같다.

그러면, 쿨롱의 법칙을 통한 해석과 전기장을 통한 해석이 어떻게 다른지 다음에 예를 들었다.

이 때, 전기장으로부터 전하가 받는 전기력은 다음과 같이 간단히 구할 수 있다.

 

앞으로, 전기현상(혹은, 전자기 현상)은 간단한 몇 가지 외에는 전기장을 통하여 분석하도록 하겠다.

 

전기장을 통해 전기현상을 이해하고자 하므로, 전기장이 주변에 어떻게 형성되어있는지를 먼저 구하는 것이 가장 중요한 문제이겠다. 점전하 하나가 만드는 전기장은 다음과 같다.

 

 

여러 점전하들이 만든 전기장은 벡터합을 하면 다음과 같이 얻을 수 있다.

 

위 그림에서, 파란색 벡터 세 개를 더해야 점 p에서의 전기장이 구해진다. 전하가 연속적으로 분포된 경우에는 전기장이 어떻게 결정될까? 이 경우는 다음과 같이 적분을 계산하여 얻을 수 있다.

 

이 적분계산은 본 포스팅에서는 생략합니다. 위 세 가지 방법을 이용하면, 어떤 경우든 전기장을 결정할 수 있다. 그런데, 다음 부분의 ‘전기장에 대한 가우스 법칙’을 통하여도 전기장을 구할 수 있다. 특히, 전하가 대칭적인 모양으로 분포해 있으면, ‘가우스 법칙’을 이용하여 아주 쉽게 주변의 전기장을 구할 수 있음을 볼 것이다.

 

전기장을 구하는 것이 쉬운 문제가 아니다. 그런데, 전기력선을 그리면 전기장을 시각적으로 나타낼 수 있어서, 복잡한 계산 없이도 전기장을 어느 정도 파악할 수 있어서 대단히 유용하게 활용될 수 있다. 전기력선을 그리는 방법은 다음과 같다.

 

예를 들어, 아래에 전기력선의 모양을 몇 가지 경우에 나타내었다.

전기력선을 보고 전기장은 다음과 같이 알아낼 수 있다.

 

◎ 전기장에서 대전 입자의 운동

 

질량m인 전하q가 전기장 안에 들어가면, 전기력을 받으므로 다음과 같이 가속한다.

 

이 식을 통해 전하가 어떻게 움직이는지 알아낼 수 있다.

 

 

 

---

 

 

 

가우스 법칙

◎ 전기선속의 정의

전기선속은 어떤 면을 통과하는 전기력선 수에 비례하는 양이다. 즉, 어떤 면을 통과하는 전기력선 수가 많을수록 전기선속이 더 크게 된다. 닫혀 있는 폐곡면을 통과하는 전기선속은 다음과 같이 구할 수 있다.

 

즉, 폐곡면을 무한히 작게 나누고, 각각의 작은 면에 대하여 전기장과 면적벡터의 스칼라 곱을 계산한 다음, 이것들을 모두 더해준 양이 바로 폐곡면을 통과하는 전기선속이다. 이런 계산을 벡터의 면적분이라고 하며, 쉽지 않은 계산 중의 하나이다. 본 포스팅에서는 가우스 법칙에서 쉽게 계산되는 몇 가지만 살펴볼 것이다.

◎ 가우스 법칙

전기장에 대한 ‘가우스 법칙’은 다음과 같다.

 

즉, 폐곡면을 어떻게 선택하든 그 폐곡면을 통과하는 전기선속은 내부에 있는 전하량만으로 결정된다는 것이다. 전하분포가 대칭적이면, 이 식을 이용하여 전기장을 아주 쉽게 결정할 수 있다. ‘가우스 법칙’은 전기장과 관련하여 가장 기본적이고도 중요한 법칙이다. 앞으로 언급할 내용인데, 전자기학은 네 개의 기본 방정식이 있으며, 전자기 현상은 이 네 개의 방정식들로부터 모두 분석해 내고, 이해 될 수 있다. 이 방정식들을 ‘맥스웰 방정식’이라 하는데, 그 첫 번째가 바로 ‘가우스 법칙’이다.

 

 

 

퀴즈 11.pdf

0.08MB