[물리공부] 이차원,삼차원에서의 운동 개념,문제

이차,삼차원에서의 운동에서는 운동에 대한 법칙을 이야기 하기에 앞서, 운동을 묘사하는 용어들에 대해 공부한다. 이,삼차원에서 움직이는 경우를 살펴볼 것이고, 중요한 용어는 위치벡터, 속도벡터, 가속도벡터 이 세 가지 이다.

그리고, 등가속도 운동의 경우 이 용어들을 활용하여 물체의 운동을 분석하 는 방법도 공부한다.

 

 

 

벡터와 성분표현 방법

 

물리량은 크게 두 가지로 나뉜다. 스칼라(scalar)양과 벡터(vector)량이 그것이다.
스칼라양은 크기만 있는 양, 벡터량은 크기만 말해주면 명확하지 않고 방향까지 동시에 말해 주어야 하는 양이다. 예를 들어, 이차원이나 삼차원 공간에서 위치가 얼마나 바뀌었는지를 나타내는 변위를 정의할 때 거리만 이야기해 준다면 어디로 이동했는지 알 수가 없다. 움직인 방향까지 말해 주어야 어디로 이동했는지 명확해진다.

이렇게 여러 가지 물리량들은 방향까지 포함된 벡터량들이다.

이런 양들을 더하거나 빼거나 할 때 어떤 식으로 연산을 해야 하는지 벡터들의 연산을 먼저정의하고 사용해야 함.

 

◎ 벡터와 기본연산

 

크기와 방향을 가진 양이 벡터이므로 벡터는 다음과 같이 화살표로 나타낼 수 있다.

 

 

벡터의 덧셈은 다음과 같이 정의한다.

 

 

 

 

위 화살표를 따라 어떤 사람이 한 번 이동(A)하고, 또 한 번 이동(B)했다면 처음과 끝을 연결한 화살표가 변위벡터의 합이 될 것이다. 이와 같이 모든 벡터들은 위 그림처럼 합해진다.

 

‘음의 벡터’와 ‘벡터의 뺄셈’ 그리고 ‘벡터와 숫자의 곱’은 다음과 같이 정의된다.

 

 

 

벡터의 뺄셈은 음의 벡터를 더하는 더하기 연산이나 마찬가지이다.
위의 벡터연산들은 화살표를 이용하여 그림으로 정의한 것이다.

이것은 직관적으로 이해하기는 쉬우나 벡터연산을 할 때 일일이 그림을 그려야 하므로 대단히 불편하다.

벡터를 성분으로 표현하면 이러한 불편이 사라지게 되는데 아래에 설명된 ‘벡터의 성분표현’을 익히면 벡터를 아주 쉽게 다룰 수 있게 된다.

 

◎ 벡터와 성분표현 방법

 

 

벡터의 성분표현 방법은 벡터를 대단히 쉽게 다룰 수 있게 하는 방법이다.

먼저 서로 직교하는 x,y,z축을 세우고(이차원이라면 x,y축만 필요하다.) 각 축 방향으로 벡터의 성분을 구하고 각 축 방향의 단위벡터를 이용하면, 화살표를 그리지 않고도 위와 같이 벡터를 나타낼 수 있다.

 

예를 들어, 두 벡터를 더하고 싶으면 다음과 같이 간단히 계산할 수 있다.

 

계산이 끝난 후, 필요하면 얼마든지 결과를 역으로 화살표로 나타낼 수 있고, 그벡터량의 크기 즉, 화살표의 길이는 피타고라스 정리를 이용하여 구할 수 있다. 또한 화살표가 가리키는 방향으로 그 벡터의 방향을 말해주면 된다(축과 화살표가 이루는 각도로 방향을 나타낼 수 있다).

 

 

 

 

---

 

 

 

이,삼차원 운동을 나타내는 용어의 정의

 

이제, 벡터를 이용하여 위치벡터, 속도벡터, 가속도벡터를 정의하려고 한다.

벡터라는 말을 빼고 그냥 위치, 속도, 가속도라고 해도 된다.

 

◎ 위치벡터와 변위벡터의 정의

 

이,삼차원에서 위치를 나타내는 벡터를 위치벡터라고 한다.

위치벡터는 좌표축의원점에서 물체의 위치까지 그린 화살표로 정의한다.

즉, 위치벡터의 끝에 물체가있다. 또한, 변위벡터는 위치벡터가 얼마나 변했나를 나타내며 나중 위치벡터에서 처음 위치벡터를 빼주면 된다. 다음에 위치벡터와 변위벡터를 화살표 및 성분으로 나타내었다.

 

 

 

◎ 평균속도와 (순간)속도의 정의

어떤 시간 간격동안에 위치벡터가 어느 방향으로 얼마나 빨리 변했는가를 나타내는양이 평균속도이다.

평균속도의 방향은 움직인 변위의 방향과 같고, 평균속도벡터의 크기는 빠르기를 나타낸다.

순간속도는 평균속도의 시간 간격을 무한히 작게 잡으면 얻을 수 있다.

즉, 무한히 작은 시간 간격 동안의 평균속도가 순간속도이다.

순간속도벡터의 크기는 순간적인 빠르기를 나타내고, 순간속도의 방향은 그 순간이동하고 있는 방향을 가리킨다. 이 방향은 운동 경로의 접선방향이다. 아래에 순간속도와 평균속도를 화살표와 성분을 이용하여 정의하였다.

 

 

속도는 위치벡터를 시간으로 한 번 미분하면 얻을 수 있고, 벡터를 미분하는 것은 성분들만 미분하면 되므로 어렵지 않게 미분 계산을 할 수 있다.

 

◎ 평균가속도와 (순간)가속도의 정의

 

어떤 시간 간격 동안에 속도벡터가 얼마나 빨리 바뀌는지를 나타내는 양이 평균가
속도이다. (순간)가속도는 평균가속도에서 시간 간격을 무한히 작게 잡으면 얻을
수 있는 순간적인 속도벡터의 변화율이다. 아래에 정의가 있다.

가속도는 속도를 시간으로 한 번 미분하면 얻을 수 있다.

또한, 속도는 위치를 시간으로 한 번 미분한 양이므로 가속도는 위치를 시간으로 두 번 미분하면 얻을 수있다.

즉, 가속도는 위치의 시간에 대한 변화율의 변화율이다. 속도의 방향을 현재 움직이는 경로(경로의 접선방향)를 향하는데, 가속도의 방향은 움직임의 방향과는 상관이 없고 속도의 변화방향과 같다.

가속도는 항상 경로방향과 휘어지는 쪽의 방향으로 분해할 수 있다. 아래 그림으로 나타내었다.

 

 

붉은 선은 움직이는 경로를 나타내고, 파란색 점선으로 나타낸 원은 경로에 접하는 원을 나타낸다.

물체의 가속도는 경로방향의 접선가속도와 접하는 원의 중심을 향하는 지름가속도로 나눌 수 있다.

원운동할 때는 이 지름가속도를 구심가속도라 하는데 휘어지는 쪽의 접하는 원의 중심을 향하고 있다.

원의 중심, 혹은 원의 지름을 따라가는 방향이라서 붙여진 이름이다. 접선가속도와 지름가속도를 합한 짙은보라색 선이 가속도 벡터이다.

가속도의 방향은 계산해 보기 전에는 정확히 알기가 어렵지만 위 그림처럼 어느 정도 추측은 할 수 있다.

 

 

---

 

 

이차원 등가속도 운동의 분석방법

 

◎ 이차원 등가속도 운동공식

 

돌을 비스듬히 던지면 포물선을 그리며 날아간다(포물체 운동). 이 때의 움직임을 이차원 평면에서 나타낼 수 있다. 이 돌의 가속도는 항상 지표면을 향하고 있는 크기가 일정한 중력가속도이다.

일반적으로, 포물체 운동이 아니더라도, 이차원 상에서 등가속도로 운동하는 물체의 경우 위와 같이 운동 상태를 공식화하여 나타낼 수 있다.

각 성분 별로 일차원 등가속도 운동공식을 그대로 적용하면 쉽게 얻을 수 있다.

왜냐하면 각 성분의 운동은 서로 영향을 주지 않고 독립적이기 때문이다.

 

 

포물체 운동의 경우에 중력가속도는 x성분이 없고 y성분만 있다. 따라서, 포물체는 다음과 같이 운동한다.

 

 

포물체는 x축 방향으로는 등속운동, y축 방향으로는 등가속도 운동을 한다.

 

 

---

 

 

등속 원운동의 가속도

 

◎ 등속 원운동의 정의와 가속도

 

일정한 속력(속도가 아님, 속도의 크기임.)으로 원 위를 돌고 있는 경우에, 빠르기는 일정하지만 속도의 방향이 계속 바뀌고 있으므로 가속도가 있다.

 

 

구심가속도 크기는 속력의 제곱에 비례하고 원의 반경에 반비례한다.

그리고 구심가속도의 방향은 항상 원의 중심을 향한다.

속력과 반지름을 알면 다음과 같이 쉽게 구심가속도를 결정할 수 있다.

 

마지막으로 예제를 풀어보자.

 

 

 

퀴즈 2.pdf